اریبی و واریانس، دو جزءِ متفاوتِ خطایِ پیش‌بینی در یک آزمایشِ آماریِ مشخص‌اند. برای فهمشان باید فرایندِ آموزش را رویِ مجموعه‌هایِ متفاوت تکرار کنیم؛ پراکندگیِ چند رأیِ دستی کافی نیست. اینجا چهار مجموعهٔ آموزشی را کامل می‌شماریم، رویِ هرکدام دو برآوردگر را واقعاً برازش می‌کنیم و خطا را در یک x ثابت تجزیه می‌کنیم.
جهانِ ساختگیِ آزمایش را معلوم کنیم
تابعِ واقعیِ آموزشی f(x)=x است. مکانِ دو مشاهدهٔ آموزش، صفر و دو، ثابت می‌ماند. به مقدارِ هر مشاهده، مستقل و با احتمالِ برابر، نویزِ منفیِ یک‌دوم یا مثبتِ یک‌دوم اضافه می‌شود. پس دقیقاً چهار مجموعهٔ آموزشیِ ممکن با احتمالِ یک‌چهارم داریم. هیچ دادهٔ مشتری یا مدلِ بیرونی استفاده نشده است.
در هر مجموعه، یک مدلِ ثابت و یک خطِ کمترینِ مربعات برازش می‌کنیم. مدلِ ثابت میانگینِ دو y را برمی‌گرداند؛ خط، عرض از مبدأ و شیب را از همان دو مشاهده حساب می‌کند. محلِ ارزیابی x=0 است و مقدارِ تابعِ بدونِ نویز در آن صفر است. انتظارها فقط رویِ همین چهار آموزش و همین طراحیِ ثابت گرفته می‌شوند.
دو برآوردگر در همان نقطه چه می‌کنند؟
| برآوردگر | میانگینِ پیش‌بینی | مربعِ اریبی | واریانسِ پیش‌بینی | خطایِ مربعیِ موردِ انتظار نسبت به f |
|---|---|---|---|---|
| ثابت | ۱ | ۱ | ۱÷۸ | ۹÷۸ |
| خط | ۰ | ۰ | ۱÷۴ | ۱÷۴ |
مدلِ ثابت هنگامِ تغییرِ داده کمتر جابه‌جا می‌شود، اما در x=0 به‌طورِ میانگین یک واحد از تابعِ واقعی فاصله دارد. خط در این طراحی میانگینِ درست دارد، ولی پیش‌بینی‌اش به نویزِ نقطهٔ صفر حساس‌تر است. این مقایسه دربارهٔ همان دو روش و همان مکان است؛ از آن برتریِ همیشگیِ یک نوعِ مدل نتیجه نمی‌گیریم.
برابریِ تجزیه را واقعاً کنترل کنیم
ابتدا میانگینِ چهار پیش‌بینی را می‌گیریم. مربعِ فاصلهٔ این میانگین از f، مربعِ اریبی است؛ میانگینِ مربعِ فاصلهٔ هر پیش‌بینی از میانگینِ پیش‌بینی‌ها، واریانس است. در سمتِ دیگر، مربعِ خطایِ هر پیش‌بینی نسبت به f را میانگین می‌گیریم. کد با کسرِ دقیق بررسی می‌کند که خطایِ دوم برابرِ مجموعِ دو جزء باشد.
برای مدلِ ثابت، ۱+۱÷۸=۹÷۸ و برای خط، ۰+۱÷۴=۱÷۴ است. چهار خروجیِ مدل از قبل در جدولِ دستی گذاشته نشده‌اند؛ تابعِ fit رویِ تک‌تکِ مجموعه‌هایِ ساخته‌شده اجرا شده و ضرایب در JSON ثبت‌اند. این واریانس با واریانسِ نمونه‌ایِ دارایِ مخرجِ n-1 فرق دارد؛ اینجا توزیعِ چهارحالتِ معلوم و انتظارِ دقیق داریم.
نویزِ مشاهدهٔ آینده را جدا اضافه کنیم
حالا برای پاسخِ آینده در x=0، نویزِ مستقلِ مثبت/منفیِ یک‌دوم را هم می‌شماریم. میانگینِ نویز صفر و واریانسش یک‌چهارم است. کد برای هر یک از چهار مدلِ برازش‌شده، هر دو حالتِ نویزِ آینده را بررسی می‌کند. خطا نسبت به y آینده برای مدلِ ثابت ۱۱÷۸ و برای خط یک‌دوم می‌شود؛ هرکدام دقیقاً یک‌چهارم از خطایِ نسبت به f بیشترند.
استقلال و میانگینِ صفرِ نویز در این اضافه‌شدن مهم‌اند. اگر سازوکارِ داده عوض شود، نمی‌توان بی‌بررسی همان تجزیه و عددها را انتقال داد. در پروژهٔ واقعی نیز f معمولاً معلوم نیست؛ این مثال برای دیدنِ حسابِ جزءها طراحی شده است، نه روشی برای مشاهدهٔ مستقیمِ حقیقتِ نامعلومِ هر مدل.
چه چیزی را با این واریانس یکی نگیریم؟
الگویِ خطایِ چند خروجی دربارهٔ رأیِ ترکیبی رویِ ردیف‌هایِ ثابت است؛ اینجا مجموعهٔ آموزش تغییر می‌کند. بیش‌برازش هم با یک اختلافِ نمره به‌تنهایی اثبات نمی‌شود. ما bagging، جنگل یا آزمایشِ holdoutِ محصول را اجرا نکرده‌ایم.
مرجعِ اصلی، اریبی، واریانس و نویز را در انتظارِ رویِ آموزش‌ها توضیح می‌دهد. برای یک نیازِ عملیِ پاسخ‌گویی، نمونهٔ مجاز و معیارِ خطا را در بررسیِ راهکارهایِ اپرا مطرح کنید؛ این محاسبه کیفیتِ واقعی یا روشِ داخلیِ محصول را اعلام نمی‌کند.
فایل تمرین و منبع
برازشِ واقعی رویِ چهار مجموعه و تجزیهٔ دقیقِ خطا · همهٔ برازش‌ها، اریبی، واریانس و نویزِ آیندهٔ جدا
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.