مقاومتِ مؤثرِ دو رأس فقط طولِ کوتاه‌ترینِ مسیر نیست؛ راه‌هایِ موازی هم در عبورِ جریان سهم دارند. در یک شبکهٔ عددیِ کوچک، یک واحد جریان از مبدأ به مقصد می‌فرستیم و اختلافِ ولتاژ، جریانِ هر یال و انرژی را دقیق حساب می‌کنیم. این تمرینِ گراف، آزمایشِ مدارِ واقعی یا راهنمایِ ایمنیِ برق نیست.
چرخهٔ چهاررأسی با رساناییِ واحد
رأس‌ها A، B، C و D و یال‌ها AB، BC، CD و DA هستند. رساناییِ هر یال ۱ است؛ مقاومتِ آن معکوسِ رسانایی است. برای هر رأس، قطرِ لاپلاسین مجموعِ رسانایی‌هایِ متصل و خانهٔ خارجِ قطر منفیِ رساناییِ یالِ مربوط است.
در چرخه، سطرِ A برابرِ [۲، −۱، ۰، −۱] است و بقیه با همان قاعده ساخته می‌شوند. جمعِ سطرها صفر است؛ پس لاپلاسینِ کامل تکین است. معکوسِ معمولیِ آن را بی‌خبر نمی‌گیریم. مقصد را ground با ولتاژ ۰ می‌گذاریم و دستگاهِ کوچکِ باقی‌مانده را با حذفِ گاوسیِ Fraction حل می‌کنیم.
یک واحد از A به B
بردارِ تزریقِ جریان در A برابر ۱، در B برابر−۱ و در دو رأسِ دیگر ۰ است. با ground B، ولتاژهایِ واقعی A=۳/۴، B=۰، C=۱/۴ و D=۱/۲ به دست می‌آیند. اختلافِ A و B برای جریانِ واحد، مقاومتِ مؤثر ۳/۴ است؛ کوتاه‌ترینِ مسیرِ واحدیِ AB طولِ ۱ داشت.
روی AB جریانِ A به B برابر ۳/۴ است. در جهتِ ثبت‌شدهٔ BC، CD و DA جریان−۱/۴ می‌شود؛ یعنی جهتِ واقعی خلافِ آن نام‌گذاری است. مسیرِ سه‌یالهٔ A به D به C به B نیز ۱/۴ جریان می‌برد. منفی‌شدنِ این علامت، رساناییِ منفی یا نقضِ بقا نیست.
مرجعِ سری و موازی را مستقل بسازیم
بینِ A و B یک مسیرِ مقاومت ۱ و یک مسیرِ مقاومت ۳ داریم؛ موازیِ آن‌ها ۱/(۱+۱/۳)=۳/۴ است. بینِ A و C دو مسیرِ مقاومت ۲ موازی‌اند و نتیجه ۱ می‌شود، درحالی‌که کوتاه‌ترینِ مسیر دو یال دارد. این دو مرجع از حل‌کنندهٔ گاوسی استفاده نمی‌کنند.
| شبکه و زوج | مقاومتِ مؤثر | طولِ کوتاه‌ترینِ مسیرِ واحدی |
|---|---|---|
| چرخه، A و B | ۳/۴ | ۱ |
| چرخه، A و C | ۱ | ۲ |
| با قطرِ AC، A و B | ۵/۸ | ۱ |
| با قطرِ AC، A و C | ۱/۲ | ۱ |
افزودنِ قطر حتی زوجِ دیگر را عوض می‌کند
حالا یالِ AC با رساناییِ ۱ را اضافه می‌کنیم. حلِ تازه برای A به B ولتاژهایِ A=۵/۸، B=۰، C=۳/۸ و D=۱/۲ می‌دهد. مقاومتِ مؤثرِ AB به ۵/۸ می‌رسد، اما کوتاه‌ترینِ مسیرِ AB همچنان ۱ است. پس اثرِ مسیرِ تازه را نمی‌توان فقط از shortestpath خواند.
برای A به C، سه مسیرِ موازی با مقاومت‌هایِ ۱، ۲ و ۲ داریم؛ مقاومت ۱/(۱+۱/۲+۱/۲)=۱/۲ است. کد این مرجع را هم با جریانِ واحد و اختلافِ ولتاژ مقایسه می‌کند. داده‌ها ساختهٔ همین تمرین‌اند و هیچ شبکهٔ فیزیکی اندازه‌گیری نشده است.
بقای جریان و انرژی را هم کنترل کنیم
جریانِ هر یال برابر رسانایی ضربدر اختلافِ ولتاژِ دو سر است. جمعِ علامت‌دارِ جریان‌هایِ هر رأس باید با بردارِ تزریق برابر باشد. سپس انرژیِ مجموعِ f²/c با اختلافِ ولتاژِ مبدأ و مقصد و با حاصلِ ضربِ بردارِ تزریق در ولتاژ برابر کنترل می‌شود؛ فقط به یک عددِ حل‌کننده اعتماد نکرده‌ایم.
در ۱۶ آزمایشِ ground، مرجعِ ولتاژ عوض می‌شود اما اختلافِ ولتاژِ هر زوج ثابت می‌ماند. پوششِ محلی تمامِ گراف را متصل می‌خواهد و مثبت، ساده و بی‌جهت می‌سازد. هفت ورودیِ نامعتبر، از گسستگی و رساناییِ نامثبت تا رأسِ ناشناخته، selfloop، یالِ موازی، قالبِ جهت‌دارِ نامجاز و بودجهٔ بیش از ۶ رأس رد می‌شوند.
CG حلِ دستگاه و residual و MST انتخابِ یال‌ها را بررسی می‌کند؛ اینجا میدانِ جریان و سهمِ همهٔ مسیرها موضوع است. ادامه در مبانی هوش مصنوعی؛ این عددها معماری، مسیریابی یا قابلیتِ محصولِ اپرا را ثابت نمی‌کنند.
فایل تمرین و منبع
کد کاملِ تمرینِ مستقل و کنترل‌ها؛ Python · ورودی و تمامِ خروجیِ اجرای واقعی؛ JSON
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.