در نمونه‌گیریِ اهمیتی، حالت‌ها را از یک توزیعِ پیشنهاد می‌گیریم، اما هدفِ محاسبه همچنان امیدِ مربوط به توزیعِ دیگری است. وزنِ درست این تفاوت را جبران می‌کند؛ میانگینِ خام معمولاً پرسشِ دیگری را جواب می‌دهد. این تمرین هیچ قرعهٔ تصادفی نمی‌زند و تمامِ حالت‌های کوچک را دقیق می‌شمارد.
هدف را پیش از پیشنهاد بنویسیم
سه حالت داریم. جرمِ هدف p برابر۱/۲،۱/۳ و۱/۶ است؛ مقدارِ تابع f در آن‌ها صفر،یک وچهار است. امیدِ موردنظر، جمعِ p×f، برابر یک می‌شود. عوض‌کردنِ پیشنهاد نباید این هدف را بی‌خبر عوض کند.
اگر از q پیشنهاد بگیریم، مقدارِ تک‌قرعهٔ اصلاح‌شده z برابرِ p×f÷q است. سپس امیدِ z زیرِ q را حساب می‌کنیم. کد همهٔ عددها را Fraction نگه می‌دارد؛ بنابراین مقایسهٔ امیدها و واریانس‌های جهانِ متناهی، دقیق است.
پیشنهادِ یکنواخت: میانگینِ خام فرق می‌کند
پیشنهادِ اول به هر سه حالت۱/۳ احتمال می‌دهد. مقدارهای z به صفر،یک ودو تبدیل می‌شوند. میانگینِ وزنیِ آن‌ها زیرِ q دقیقاً یک است و واریانسِ تک‌قرعه۲/۳ می‌شود. اگر f را بدونِ اصلاح میانگین بگیریم، امیدِ خروجی۵/۳ خواهد بود، نه یک.
این اختلاف، نوسانِ یک اجرای کم‌نمونه نیست؛ خودِ امیدِ دقیقِ دو تعریف متفاوت است. بیشترکردنِ تعدادِ قرعه، تعریفِ اشتباهِ هدف را اصلاح نمی‌کند. وزن‌گذاری باید از قراردادِ p،q وf بیاید، نه از نزدیک‌کردنِ دلخواهِ جواب به عددِ مطلوب.
هر پیشنهادِ متفاوت بهتر نیست
| q | امیدِ اصلاح‌شده | واریانسِ تک‌قرعه | امیدِ خام |
|---|---|---|---|
| ۱/۳،۱/۳،۱/۳ | ۱ | ۲/۳ | ۵/۳ |
| ۱/۱۲،۱/۳،۷/۱۲ | ۱ | ۲/۲۱ | ۸/۳ |
| ۳/۴،۱/۶،۱/۱۲ | ۱ | ۵ | ۱/۲ |
پیشنهادِ دوم واریانسِ همین برآوردگر را کاهش می‌دهد، اما سومی آن را بالا می‌برد. در سومی، حالتِ با contribution مهم کمتر پیشنهاد می‌شود و وقتی رخ دهد، وزنِ بزرگی دارد. «پیشنهادِ هوشمند» بدونِ محاسبهٔ نسبت و پراکندگی، تضمینِ بهبود نیست.
واریانس را با مسیرِ دیگر کنترل کنیم
روشِ اول، جمعِ q×(z−میانگین)² است. oracle جدا، مجموعِ (p×f)²÷q را می‌گیرد و مربعِ هدف را کم می‌کند. جوابِ هر سه پیشنهاد برابر شده است؛ فقط یک عدد را با خودش مقایسه نکرده‌ایم.
همچنین برای هر q، تمامِ نه جفتِ مستقلِ دو قرعه را می‌شماریم. احتمالِ جفت حاصل‌ضربِ دو q و برآوردگر میانگینِ دو z است. امید همچنان یک است و واریانسِ میانگین نصفِ تک‌قرعه می‌شود. این ویژگی با استقلالِ صریحِ جهانِ دو قرعه کنترل شده؛ به مسیرِ هم‌بستهٔ مارکوف تعمیمِ خودکار ندارد.
صفرِ پیشنهاد را پنهان نکنیم
اگر p×f در حالتی غیرصفر باشد ولی q آن صفر باشد، سهمِ آن حالت قابلِ برآورد با این قرارداد نیست و ورودی رد می‌شود. قرار دادنِ وزنِ صفر به جای نسبتِ تعریف‌نشده، هدف را عوض می‌کند. در همین مثال، qِ صفر برای حالتِ اول مجاز است، چون f آن صفر و contribution آن هم صفر است؛ اجرایِ [۰،۱/۳،۲/۳] امیدِ یک را حفظ می‌کند.
شکلِ ورودی سه‌حالتی، جرم‌های دقیقِ غیرمنفی و جمعِ یک بررسی می‌شوند؛ جرمِ منفی، جمعِ نادرست، بولین و نبودِ پشتیبانیِ contribution غیرصفر در چهار آزمون رد شده‌اند. این کد برآوردگرِ نسبتِ self-normalized، مولدِ قرعه یا تستِ عملکردِ محصول نیست.
جدول Alias ابزارِ ساختِ انتخاب از وزن‌های ثابت است و Metropolis–Hastings انتقالِ یک زنجیره را می‌سازد؛ هیچ‌کدام به‌تنهایی جای تعریفِ این برآوردگر نیستند. ادامه در مبانی هوش مصنوعی؛ کاهشِ واریانسِ این جدول را نتیجهٔ فروش یا کیفیتِ مدل ننامید.
فایل تمرین و منبع
کد مستقلِ تمرین و کنترل‌ها؛ Python · ورودی‌ها و تمام خروجی واقعیِ همین تمرین؛ JSON
- کتاب رسمی PBRT۴،بخش۲٫۱٫۲تا۴؛ متنِ امید و برآوردگر خوانده شد،فرمول‌های نمایش‌نیافته به‌عنوان شاهدِ خوانده‌شده ثبت نشده‌اند
- PBRT۴،بخش۲٫۲٫۲؛ متنِ پیشنهاد و تغییرِ واریانس،بدونِ تضمینِ برتریِ هر پیشنهاد
- کتابِ نویسنده Art Owen،فصل۹٫۱ صفحات چاپی۴و۵؛ روابط۹٫۱تا۹٫۴،نسبتِ وزن و شرطِ پشتیبانی؛ تاریخِ کپی‌رایت۲۰۰۹تا۲۰۱۳و۲۰۱۸،نه خبرِ تازه
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.