در روشِ Jacobi برای Ax=b،همهٔ مؤلفه‌هایِ گامِ تازه باید از همان بردارِ قبلی ساخته شوند. نوشتنِ درجا،روش را عوض می‌کند. مثبت‌معین‌بودنِ A هم به‌تنهایی همگراییِ این تکرار را تضمین نمی‌کند؛ یک ضدنمونهٔ دقیقِ سه‌بعدی،این مرز را نشان می‌دهد.
گامِ نخست از کدام بردار می‌آید؟
در مثالِ اصلی،A سطرهایِ [۴،۱] و[۲،۳]،b=[۶،۸] و شروعِ صفر دارد. رابطهٔ سطرِ اول x₁ تازه=(۶−x₂ قبلی)/۴ و سطرِ دوم x₂ تازه=(۸−۲x₁ قبلی)/۳ است. پس گامِ نخست [۳/۲،۸/۳] می‌شود.
اگر پس از نوشتنِ ۳/۲ در خانهٔ اول،همان مقدارِ تازه را در سطرِ دوم استفاده کنیم،مؤلفهٔ دوم۵/۳ خواهد شد. کد این نسخهٔ درجا را هم واقعاً برای یک گام اجرا می‌کند و تفاوت را ثبت می‌کند؛ دو عددِ متفاوت صرفاً خطایِ گردکردن نیستند.
دفترِ old وnew را جدا نگه داریم
قبل از هر گام،بردارِ قبلی کپی می‌شود. حلقهٔ محاسبهٔ مؤلفه‌ها فقط old را می‌خواند و new می‌سازد؛ پس از کامل‌شدنِ بردار،باقیماندهٔ b−Ax حساب می‌شود. JSON هم old وnew و هم همهٔ مؤلفه‌هایِ residual و نرمِ بی‌نهایتِ آن را نگه می‌دارد.
جوابِ دقیقِ دستگاهِ دوبعدی [۱،۲] است و از فرمولِ مستقیمِ مستقل به دست می‌آید. برای ماتریسِ تکرارِ همین مثال،دو گام اثرِ ضریبِ ۱/۶ دارند؛ oracleِ بسته،تمامِ گام‌هایِ زوجِ ۲،۴،۶ و۸ را جدا کنترل می‌کند. این رابطهٔ خاصِ همین مثال است.
باقیماندهٔ کوچک‌تر هنوز پایانِ موفق نیست
اجرایِ اصلی هشت گام و تلورانسِ ۱e−۸ دارد. پس از هشت گام،باقیمانده هنوز از تلورانس بزرگ‌تر است؛ وضعیت budget_exhausted است. نزدیک‌شدن به جواب را نباید با گذراندنِ معیارِ توقف یکی گرفت،و معیار هم باید همراهِ واحد و مقیاسِ مسئله تفسیر شود.
این فایل از Fraction استفاده می‌کند تا تفاوتِ old/new و فرمول‌ها زیرِ گردکردن پنهان نشوند. از حسابِ دقیق،سرعت یا پایداریِ برابر با یک کتابخانهٔ عددیِ تولیدی نتیجه نمی‌گیریم. روشِ CG یا حلِ مستقیم در حلقهٔ Jacobi فراخوانی نشده است.
یک ماتریسِ مثبت‌معین که تکرار را واگرا می‌کند
ماتریسِ دومِ ۳در۳،رویِ قطر۱ و در همهٔ خانه‌هایِ خارجِ قطر۹/۱۰ دارد. بردارهایِ مستقلِ [۱،۱،۱]،[۱،−۱،۰] و[۱،۰،−۱] به‌ترتیب مقدارهایِ ویژهٔ۱۴/۵،۱/۱۰ و۱/۱۰ دارند؛ همه مثبت‌اند و ضربِ هر سه واقعاً کنترل شده است.
سمتِ راست [۱۴/۵،۱۴/۵،۱۴/۵] و شروع صفر است. همهٔ مؤلفه‌هایِ گامِ k برابرِ s_k می‌مانند و رابطهٔ s تازه=۱۴/۵−(۹/۵)s قبلی دارند. oracleِ بسته s_k=۱−(-۹/۵)^k را در تمامِ هشت گام کنترل می‌کند. قدرمطلقِ ضریبِ تکرار۹/۵ از یک بزرگ‌تر است؛ مقدارها به جوابِ [۱،۱،۱] همگرا نمی‌شوند.
فرضِ حل‌گرها را به هم قرض ندهیم
در گرادیانِ مزدوج،فرضِ SPD برای روشِ دیگری مطرح است؛ نمی‌توان همان شرط را به تضمینِ همگراییِ Jacobi تبدیل کرد. چولسکی نیز عامل‌گیریِ مستقیم است. وجودِ قطرِ غیرصفر فقط اجازهٔ تقسیمِ محلی را می‌دهد،نه ضمانتِ همگرایی.
قطرِ صفر،شکلِ ناسازگار،نامتناهی،سقفِ بولین و تلورانسِ منفی در پنج آزمون رد می‌شوند. دامنهٔ این فایل۱تا۳بعد و حداکثر۱۶گام با عددهایِ کران‌دار است. فرمول‌هایِ تصویریِ در دسترس‌نبودِ صفحهٔ Netlib دیده‌شده ادعا نمی‌شوند؛ متنِ تعریفِ هم‌زمانی و نیاز به بردارِ کمکی خوانده شده است. ادامه در مبانی هوش مصنوعی؛ هیچ بهبودِ مدل یا نتیجهٔ محصول از این دستگاه‌ها گزارش نمی‌شود.
فایل تمرین و منبع
کد مستقلِ تمرین و کنترل‌ها؛ Python · تمامِ ورودی‌ها و نتیجهٔ اجرای واقعیِ تمرین؛ JSON
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.