زنجیرهٔ مارکوفِ این صفحه یک مدلِ دوحالته با احتمال‌هایِ انتقالِ ثابت است. پرسش ما این است که توزیعِ احتمالِ وضعیت‌ها در چند گام چگونه عوض می‌شود و کدام توزیع با یک گامِ دیگر ثابت می‌ماند. ثابت‌ماندنِ توزیع به معنیِ ثابت‌ماندنِ وضعیتِ هر فرد یا متوقف‌شدنِ جابه‌جایی‌ها نیست.
سطرِ ماتریس مربوط به کدام وضعیت است؟
وضعیت‌ها A و B هستند؛ سطرْ وضعیتِ فعلی و ستونْ وضعیتِ گامِ بعد را نشان می‌دهد. از A، احتمالِ ماندن درA برابرِ۳÷۴ و رفتن بهB برابرِ۱÷۴ است. ازB، هر دو مقصد احتمالِ۱÷۲ دارند. هر خانه نامنفی و مجموعِ هر سطر یک است. این اعداد آموزشی‌اند؛ نرخِ تبدیلِ مشتری یا رفتارِ واقعیِ تماس‌ها نیستند.
P = [[3/4, 1/4],
[1/2, 1/2]]
p_next = p_current @ P # row distributionتوزیعِ آغازین را p₀=(۱،۰) می‌گیریم؛ یعنی در مدل، در شروع تمامِ جرمِ احتمال رویِ A است. این بردارِ سطری را در P ضرب می‌کنیم. قراردادِ بردارِ ستونی به ترانهاده نیاز دارد؛ یک ماتریسِ یکسان را با دو قرارداد بی‌خبر استفاده نکنید.
پنج گامِ دقیق را دنبال کنیم
| t | احتمالِ A | احتمالِ B |
|---|---|---|
| ۰ | ۱ | ۰ |
| ۱ | ۳÷۴ | ۱÷۴ |
| ۲ | ۱۱÷۱۶ | ۵÷۱۶ |
| ۳ | ۴۳÷۶۴ | ۲۱÷۶۴ |
| ۴ | ۱۷۱÷۲۵۶ | ۸۵÷۲۵۶ |
| ۵ | ۶۸۳÷۱۰۲۴ | ۳۴۱÷۱۰۲۴ |
برایِ نمونه، احتمالِ A در گامِ دوم برابرِ(۳÷۴)×(۳÷۴)+(۱÷۴)×(۱÷۲)=۱۱÷۱۶ است. کد تمامِ سطرها را با Fraction می‌سازد و مجموعِ جرمِ احتمال را در هر گام یک کنترل می‌کند. هیچ فرد یا مسیرِ تصادفی شبیه‌سازی نشده است؛ جدول توزیعِ حاشیه‌ایِ وضعیت در هر زمان است.
توزیعِ پایا را مستقل از جدول حل کنیم
اگر π=(a,۱−a) و πP=π باشد، مؤلفهٔ نخست می‌دهد a=(۳÷۴)a+(۱÷۲)(۱−a). پس(۳÷۴)a=۱÷۲ و a=۲÷۳ است؛ π=(۲÷۳،۱÷۳). تابعِ دومِ فایل همین رابطهٔ دوحالته را حل و دوباره πP=π را کنترل می‌کند. فقط آخرینِ سطرِ جدول را به‌عنوانِ «پایا» انتخاب نکرده‌ایم.
در همین زنجیره، اگر احتمالِ A را p بنامیم، p تازه=۱÷۲+p÷۴ است. بنابراین فاصله از۲÷۳ در هر گام در۱÷۴ ضرب می‌شود؛ از آغازِ انتخابی، فاصله دقیقاً(۱÷۳)×(۱÷۴)به‌توانِt است. این رابطه برایِ مثال، همگرایی را فراتر از نگاه‌کردن به پنج سطر توضیح می‌دهد. تعریفِ پایایی به‌تنهایی چنین همگرایی‌ای را برایِ همهٔ زنجیره‌ها تضمین نمی‌کند.
توزیعِ پایا هست، ولی توزیعِ آغازین نوسان می‌کند
زنجیرهٔ دوم در هر گام قطعاً وضعیت را عوض می‌کند: AبهB وBبهA. ماتریس سطرهایِ(۰،۱) و(۱،۰) دارد. توزیعِ(۱÷۲،۱÷۲) پایاست، اما از(۱،۰)، توزیع‌ها یکی‌درمیان(۱،۰) و(۰،۱) می‌شوند. وجودِ توزیعِ پایایِ یکتا در این مثال، همگرایی از هر آغاز را ثابت نمی‌کند؛ تناوب را نمی‌توان نادیده گرفت.
ضدنمونهٔ سوم ماتریسِ همانی است: هر وضعیت همیشه خودش می‌ماند. هر توزیعِ آغازین پایاست، پس توزیعِ پایا یکتا نیست. کد این دو ویژگی را جدا ثبت می‌کند. در نظریهٔ متناهی، شرط‌هایِ دسترسی و تناوب برایِ ادعایِ یکتایی و همگرایی مهم‌اند؛ از چند قدمِ ظاهراً آرام، قضیهٔ عمومی نسازید.
از این احتمال چه نتیجه‌ای نگیریم؟
π_B=۱÷۳ نمی‌گوید در هر جمعیتِ سه‌نفره حتماً یک نفر درB است. فراوانیِ مشاهده‌شده با احتمالِ مدل فرق دارد. همچنین مدلِ مرتبهٔ اول و انتقالِ ثابت، فرض‌هایِ ما هستند؛ دادهٔ واقعی ممکن است به تاریخچه یا زمانِ بیشتری وابسته باشد. هیچ احتمالِ انتقالی از دادهٔ واقعی برازش نشده است.
دو ماتریسِ دارایِ مجموعِ سطرِ نادرست و خانهٔ منفی واقعاً رد می‌شوند. حلِ پایایِ فایل فقط دوحالته است و برایِ ماتریسِ عمومی یا فضایِ نامتناهی نوشته نشده است. QuantEcon در این تمرین اجرا نشده؛ تعریف و تفاوتِ پایایی با همگرایی از منبعِ اصلی خوانده شده‌اند.
فرقِ این سؤال با وضعیتِ پنهان
HMM و Forward احتمالِ دنبالهٔ مشاهده با جمعِ مسیرهایِ پنهان را حساب می‌کند؛ اینجا انتشارِ مشاهده یا رمزگشایی نداریم. Viterbi نیز یک مسیرِ محتمل را انتخاب می‌کند، نه توزیعِ پایا. برایِ مبانی به راهنمایِ هوشِ مصنوعی بروید؛ برایِ نیازِ عملیِ پاسخ‌گویی، ورودی و خروجیِ مجاز را در راهکارهایِ اپرا روشن کنید. این مدل به محصول یا مشتریِ اپرا نسبت داده نمی‌شود.
فایل تمرین و منبع
تکاملِ توزیع، حلِ پایا و دو ضدنمونه؛ Python · توزیع‌هایِ پنج گام و زنجیرهٔ تناوبی و همانی
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.