درون‌یابیِ چندجمله‌ای تابعی می‌سازد که از تمامِ نقطه‌هایِ داده‌شده بگذرد. نمایشِ barycentric همان چندجمله‌ای را با وزنِ گره‌ها ارزیابی می‌کند؛ قرار نیست خطایِ بینِ نقطه‌ها را خودکار حذف کند. این تمرین هم شاخهٔ برابریِ دقیقِ گره و هم ضدنمونهٔ خطایِ داخلی را اجرا می‌کند.
سه گره،یک چندجمله‌ایِ معلوم
گره‌هایِ اصیلِ مثال صفر،یک ودو با مقدارهایِ ۱،۲ و۵ هستند. چندجمله‌ایِ ۱+x² از این سه نقطه می‌گذرد. برای هر گرهٔ i،وزن w_i وارونِ حاصل‌ضربِ همهٔ فاصله‌هایِ x_i−x_j برای j متفاوت است؛ وزن‌هایِ این نمونه۱/۲،−۱ و۱/۲ می‌شوند.
وزن‌ها به محلِ گره‌ها وابسته‌اند،نه به yِ همان ردیف. با تغییرِ محلِ گره باید وزن را دوباره حساب کرد؛ تغییرِ مقدارهایِ y برای همان گره‌ها پرسشِ دیگری است. کد وزن را از داده می‌سازد و فهرستِ آن را در JSON نگه می‌دارد.
نسبتِ دو جمع را حساب کنیم
برای پرس‌وجویِ x که با هیچ گره برابر نیست،صورت جمعِ w_i×y_i÷(x−x_i) و مخرج جمعِ w_i÷(x−x_i) است. نسبتِ این دو،مقدارِ چندجمله‌ای را می‌دهد. در x=۱/۲،خروجی۵/۴ می‌شود و با۱+(۱/۲)² برابر است.
دفترِ هر پرس‌وجو،گره،وزن‌برفاصله و سهمِ صورت را ثبت می‌کند. حسابِ فایل Fraction است؛ خطایِ بینِ تابعِ اصلی و چندجمله‌ای را با گردکردنِ صورت و مخرج مخلوط نمی‌کنیم.
رویِ خودِ گره تقسیم نکنیم
اگر x دقیقاً یکی از x_iها باشد،رابطهٔ ظاهری تقسیم بر صفر دارد،اما مقدارِ درون‌یاب باید همان y_i باشد. تابع پیش از تشکیلِ نسبت،برابریِ دقیقِ گره را بررسی و مقدارِ ثبت‌شده را با وضعیتِ exact_node_return برمی‌گرداند.
این قرارداد برای کسرهایِ دقیق است؛ تلورانسِ تشخیصِ «تقریباً برابر» در ممیزشناور را پیاده نکرده‌ایم. گرهٔ تکراری با yِ یکسان یا متفاوت هر دو رد می‌شوند؛ حذفِ پنهانیِ یکی از ردیف‌ها مسئله را بی‌خبر عوض می‌کند.
oracleِ لاگرانژ مستقل است
کنترلِ دوم،جمعِ مستقیمِ پایه‌هایِ لاگرانژ را از حاصل‌ضربِ نسبتِ فاصله‌ها حساب می‌کند؛ از وزنِ barycentric یا نسبتِ دو جمع استفاده نمی‌کند. تمامِ ۱۷پرس‌وجویِ شبکهٔ یک‌چهارمی از−۱تا۳ هم با آن و هم با۱+x² برابر شده‌اند.
همهٔ شش جایگشتِ سه گره نیز با حفظِ جفت‌هایِ x,y در x=۱/۲ همان جواب را می‌دهند. عوض‌کردنِ ترتیبِ ردیف‌ها با جداکردنِ ستونِ x ازy فرق دارد. درون‌یابِ معتبر باید معنایِ جفت‌ها را حفظ کند.
عبور از گره‌ها،دقتِ داخل را تضمین نمی‌کند
تابعِ دوم۱÷(۱+۲۵x²) است. مقدارِ آن را در گره‌هایِ−۱،−۱/۲،صفر،۱/۲ ویک می‌گیریم و چندجمله‌ایِ گذرنده می‌سازیم. هر پنج مقدارِ گره دقیق بازمی‌گردند،اما در نقطهٔ داخلیِ ۳/۴،چندجمله‌ای−۱۷۲۱۹/۴۸۲۵۶ و خودِ تابع۱۶/۲۴۱ است؛ حتی علامت فرق دارد.
این ضدنمونه با لاگرانژِ مستقل هم برابر شده است. نمایشِ barycentric مشکلاتِ ذاتیِ انتخابِ چندجمله‌ای و گره‌ها را ناپدید نمی‌کند. مثالِ خاص را حکمِ شکستِ همهٔ درون‌یابی‌ها یا تضمینِ برتریِ هر شبکهٔ دیگری نمی‌نامیم؛ انتخابِ گره و تابع مهم است.
دو نوعِ گرهٔ تکراری،طولِ نامساوی،خالی،NaN،بولین و بیش از۸گره در هفت آزمون رد می‌شوند. رگرسیونِ چندجمله‌ای کمینه‌سازیِ خطا دارد و SMOTE رکوردِ مشتق از والد می‌سازد؛ اینجا ارزیابیِ چندجمله‌ایِ گذرنده موضوع است. ادامه در مبانی هوش مصنوعی؛ SciPy اجرا نشده و بازهٔ اطمینان یا کیفیتِ پیش‌بینیِ محصول گزارش نمی‌شود.
فایل تمرین و منبع
کد مستقلِ تمرین و کنترل‌ها؛ Python · تمامِ ورودی‌ها و نتیجهٔ اجرای واقعیِ تمرین؛ JSON
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.