روشِ Euler برای مسئلهٔ مقدارِ اولیه، با شیبِ همان زمان و مقدارِ قبلی یک گام جلو می‌رود. پایداربودنِ حلِ پیوسته، مجوزِ هر اندازهٔ گامِ عددی نیست. در این تمرین، یک معادلهٔ کاهنده را با گامِ کوچک تقریب می‌زنیم و سپس نشان می‌دهیم گامِ بزرگ چگونه عددِ نوسانی و رو‌به‌رشد می‌سازد.
معادله از قبل معلوم است
مسئله y′=−۲y وy(۰)=۱است. پاسخِ تحلیلی در زمان T برابر exp(−۲T)است؛ آن را از داده یاد نگرفته‌ایم. هدفِ محاسبه، تقریبِ مسیرِ همین معادلهٔ معلوم است، نه پیش‌بینیِ فروش،برازشِ پارامتر یا آموزشِ Neural ODE.
بازه را به n گامِ برابر با h=(پایان−آغاز)/nمی‌شکنیم. در هر گام y تازه=y قبلی+h×f(t قبلی,y قبلی)است. فایل زمان،مقدار،شیبِ قدیمی و مقدارِ تازهٔ هر گام را ثبت می‌کند تا استفاده از زمانِ اشتباه دیده شود.
تا زمانِ یک، گام را ریزتر کنیم
برای T=۱، اجراهای n=۴،۸و۱۶داریم. چون شیبِ این معادله−۲yاست، عاملِ هر گام۱−۲hمی‌شود. oracleِ مستقل مقدارِ بستهٔ(۱−۲/n)^nرا با حلقهٔ گام‌به‌گامِ کسری برابر می‌خواهد؛ همهٔ خروجی‌های انتهایی برابرند.
خطایِ انتهایی نسبت به exp(−۲)در همین سه اجرا کم می‌شود. این شاهدِ محدود را حکمِ یکنواختِ کاهشِ خطا برای هر معادله،هر گام و هر حسابِ ممیزشناور نمی‌نامیم. گام‌ها Fraction هستند ولی مرجعِ نمایی و نمایشِ خطا اعشاری‌اند؛ این دو نوعِ محاسبه جدا ثبت شده‌اند.
همان حلِ پیوسته، یک گامِ ناپایدار
بازهٔ تازه از۰تا۶و n=۴است؛ h=۳/۲و عاملِ هر گام۱−۳=−۲می‌شود. مقدارهای پس از گام‌ها−۲،۴،−۸و۱۶هستند. پاسخِ تحلیلی در۶حدود۰٫۰۰۰۰۰۶۱۴است، ولی تقریبِ Euler به۱۶رسیده است.
تغییرِ علامت و رشد از خودِ رابطهٔ گام می‌آیند؛ خطا را نمی‌توان با نرم‌ترکردنِ نمودار رفع کرد. در این معادلهٔ خاص، شرطِ |۱−۲h|<۱برای کاهشِ دامنهٔ گام‌ها قابل بررسی است. این تحلیلِ همان مثال است و معیارِ آمادهٔ پایداریِ همهٔ دستگاه‌ها نیست.
زمانِ قبلی واقعاً استفاده می‌شود؟
برای y′=t، مقدارِ آغازینِ صفر و چهار گام تا۱، Euler صریح عدد۳/۸می‌دهد؛ پاسخِ تحلیلی۱/۲است. استفادهٔ اشتباه از زمانِ انتهایِ هر گام،۵/۸می‌سازد. فایل این ضدنمونه را جدا از مسئلهٔ کاهنده نگه می‌دارد تا خطایِ اندیس با پایداریِ ضریب مخلوط نشود.
آزمونِ شیبِ ثابتِ ۳با y آغازین۵نیز در زمانِ ۱عدد۸می‌دهد. در آن حالت، همان خطِ دقیق بازتولید می‌شود. درست‌شدنِ حالتِ ثابت به‌تنهایی کافی نیست؛ نمونهٔ وابسته به زمان نیاز بود تا تفاوتِ t قبلی و تازه واقعاً آشکار شود.
تمام‌شدنِ بودجه، همگرایی نیست
خروجیِ این تابع پس از تعدادِ گامِ مشخص تمام می‌شود؛ پرچمِ «همگرا» از رسیدن به nساخته نشده است. اگر رشد از سقفِ محلی بیرون برود، خطایِ محدودیت می‌دهد. سقفِ تمرین برای محدودماندنِ اجرایِ آموزشی است، نه تشخیصِ عمومیِ پایداری.
شش ورودیِ نامعتبر، از nصفر یا بولین تا بازهٔ معکوس،عددِ نامتناهی،بیش از۳۲گام یا نامِ معادلهٔ ناشناخته، رد می‌شوند. فقط سه تابعِ معلومِ همین کد،بازهٔ رو‌به‌جلو با طولِ حداکثر۶و مقدارهای دقیقِ کران‌دار پذیرفته می‌شوند؛ رشتهٔ کاربر اجرا نمی‌شود.
کالمن پیش‌بینیِ حالت و اصلاح با مشاهده دارد و Welford خلاصهٔ دادهٔ ورودی را به‌روز می‌کند. اینجا معادلهٔ معلوم را در زمان گسسته کرده‌ایم. ادامه در مبانی هوش مصنوعی؛ حل‌گرِ SciPy،شبیه‌ساز واقعی یا محصولِ اپرا اجرا نشده است.
فایل تمرین و منبع
کد کاملِ تمرینِ مستقل و کنترل‌ها؛ Python · ورودی و تمامِ خروجیِ اجرای واقعی؛ JSON
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.