رگرسیونِ فرایندِ گاوسی می‌تواند برایِ چند ورودیِ پرسش، یک توزیعِ مشترکِ پیش‌بینی بدهد. دو میانگین و دو واریانس، تمامِ این توزیع را توضیح نمی‌دهند؛ کوواریانسِ بینِ دو پیش‌بینی هم مهم است. این راهنما همان بخشِ خارج از قطر را با یک مدلِ کوچکِ دقیق محاسبه می‌کند و تابعِ پنهان را از مشاهدهٔ نویزیِ آینده جدا نگه می‌دارد.
یک پیشینِ کوچک که بتوانیم مستقل هم کنترلش کنیم
پیشین را f(x)=a+b×x می‌گیریم؛ a و b مستقل، گاوسیِ میانگینِ صفر و واریانسِ یک‌اند. پس کرنل k(x,z)=۱+xz است. این یک نمونهٔ محدودِ فرایندِ گاوسیِ با ویژگیِ متناهی است؛ منظور از GP در اینجا هر منحنیِ دلخواه یا مدلِ عصبی نیست. مقیاس‌ها و کرنل از قبل ثابت‌اند و برازش نشده‌اند.
یک دادهٔ آموزشی داریم: X=۰ و y=۱، با نویزِ مشاهدهٔ مستقلِ صفرمیانگینِ گاوسی و واریانسِ۱. دو محلِ پرسش۰و۱ هستند. واحدِ فرضیِ x مشخصاتِ آموزشی است؛ واحدِ مقدارهایِ کوواریانس، مربعِ واحدِ خروجی است. واریانسِ نویز عددِ انتخابیِ ماست، نه چیزی که از مشتری یا فایلِ صوتی اندازه گرفته باشیم.
سه ماتریس و یک حلِ واقعی
ماتریسِ آموزش با نویز K_y=[۲]، ماتریسِ شباهتِ دو query با آموزش K_*X با دو سطرِ[۱] و[۱]، و پیشینِ queryها K_** با سطرهایِ(۱،۱) و(۱،۲) است. کد K_y×α=y را حل می‌کند و α=۱÷۲ می‌گیرد؛ پس میانگینِ هر دو پرسش۱÷۲ می‌شود.
mean = K_query_train * solve(K_train_noise, y)
C = K_query_prior - K_query_train * solve(K_train_noise, K_train_query)برایِ بخشِ دوم هم دستگاهِ هر ستون واقعاً حل و باقیماندهٔ آن دقیق کنترل می‌شود. کم‌کردنِ حاصل از پیشین، C با سطرهایِ(۱÷۲،۱÷۲) و(۱÷۲،۳÷۲) می‌دهد. خانهٔ خارج از قطر صفر نیست. این مثال دربارهٔ توزیعِ دو مقدارِ تابع با شرطِ همان داده و فرض‌هایِ ثابت است؛ هیچ نقطهٔ آزمایشِ بعدی انتخاب نمی‌شود.
نادیده‌گرفتنِ وابستگی، واریانسِ جمع را عوض می‌کند
واریانسِ f(۰)+f(۱) برابرِ C₀₀+C₁₁+۲C₀₁=۳ است. اگر به‌اشتباه دو پیش‌بینی را مستقل فرض کنیم، فقط۱÷۲+۳÷۲=۲ می‌گیریم. دو خطایِ حاشیه‌ای به‌تنهایی کافی نبودند. در مقابل، علامت و اندازهٔ وابستگی به مدل و نقاط بستگی دارد؛ از مثبت‌بودنِ این مثال، مثبت‌بودنِ همهٔ کوواریانس‌هایِ پسین را نتیجه نگیرید.
ماتریسِ به‌دست‌آمده متقارن است و برایِ هر بردارِc، داریم cᵀCc=۰٫۵(c₀+c₁)²+c₁² که نامنفی است. کد قطرها و دترمینانِ۱÷۲ را نیز دقیق کنترل می‌کند. بررسیِ چند بردارِ دلخواه به‌تنهایی اثباتِ عمومیِ مثبت‌نیمه‌معین‌بودنِ هر کرنل نیست؛ رابطهٔ این مثال از فرمِ صریحِ خودش می‌آید.
تابعِ پنهان با اندازه‌گیریِ آینده یکی نیست
حالا دو مشاهدهٔ آینده را y*=f*+ε* با نویزهایِ تازه، مستقل از هم و بقیهٔ مدل، و هرکدام با واریانسِ۱ فرض کنیم. فقط به دو خانهٔ قطریِ C، عدد۱ اضافه می‌شود. ماتریسِ مشاهده با سطرهایِ(۳÷۲،۱÷۲) و(۱÷۲،۵÷۲) است. کوواریانسِ خارج از قطر همان۱÷۲ می‌ماند، چون نویزهایِ تازه هم‌بسته فرض نشده‌اند.
| کمیتِ شرطیِ مثال | تابعِ پنهان | مشاهدهٔ نویزیِ آینده |
|---|---|---|
| میانگین‌ها | (۱÷۲،۱÷۲) | (۱÷۲،۱÷۲) |
| واریانسِ queryِ۰ | ۱÷۲ | ۳÷۲ |
| واریانسِ queryِ۱ | ۳÷۲ | ۵÷۲ |
| کوواریانسِ دو query | ۱÷۲ | ۱÷۲ |
اگر نویزها هم‌بسته باشند، فقط افزودنِ قطر کافی نیست. همچنین بازهٔ حاشیه‌ایِ هر نقطه، نوارِ هم‌زمانِ معتبر برایِ همهٔ منحنی نیست. در این صفحه هیچ پوششِ تجربی یا کالیبراسیونِ بازه اندازه‌گیری نشده است.
هدف عوض شود، کوواریانس هم عوض می‌شود؟
با ثابت‌بودنِ X، کرنل و واریانسِ نویز، y را از۱به۳ تغییر می‌دهیم. کد میانگین‌ها را۳÷۲ و۳÷۲ می‌گیرد، ولی همان C را حفظ می‌کند. این ویژگیِ مدلِ گاوسیِ با فرض‌هایِ ثابت است؛ اگر ابرپارامترها را با خودِ دادهٔ هدف دوباره تنظیم کنیم، این نتیجه را بی‌بررسی تعمیم ندهید. کنترلِ مستقلِ دوم از پسینِ ضرایبِaوb نیز همان C را بازسازی می‌کند.
ورودیِ تکراری و حدِ حل‌کننده
در آزمایشِ بعد، دو ورودیِ آموزشی هر دو صفر و پاسخ‌ها۱و۳هستند. با واریانسِ نویزِ۱، ماتریسِ آموزش سطرهایِ(۲،۱) و(۱،۲) دارد و حل می‌شود؛ میانگینِ هر دو query برابرِ۴÷۳ است. با نویزِ صفر، ماتریسِ همه‌یک تکین است و حلِ معمولِ ابزار رد می‌شود. این رد، حکمِ نامعتبرشدنِ تمامِ تعریف‌هایِ GP یا نبودِ هر روشِ شرطی‌سازیِ دیگر نیست؛ فقط این دستگاه با حلِ معمولِ فایل وارون‌پذیر نیست.
بهینه‌سازیِ بیزی از میانگین و عدم‌قطعیت برایِ انتخابِ آزمایشِ بعدی استفاده می‌کند؛ اینجا آن حلقه را تکرار نکردیم و وابستگیِ مشترک موضوع است. کتابِ GPML، چاپِ۲۰۰۶، روابطِ پسین را توضیح می‌دهد؛ کتابخانهٔ GP یا بهینه‌ساز اجرا نشده است. برایِ مسئلهٔ پاسخ‌گوییِ مشتری، نیاز و شاهدِ پذیرش را در راهکارهایِ اپرا روشن کنید؛ این آموزش معماریِ محصول را اعلام نمی‌کند.
فایل تمرین و منبع
حلِ دستگاه و کوواریانسِ کاملِ دو query؛ Python · تمامِ ماتریس‌ها، واریانسِ جمع و مرزِ ورودیِ تکراری
- GPML، Rasmussen و Williams،۲۰۰۶؛ بخشِ۲٫۲، روابطِ۲٫۲۳/۲٫۲۴ و توضیحِ joint predictions و noisy predictions در صفحهٔ چاپی۱۸؛ فقط بخشِ مرتبط خوانده شد
- scikit-learn؛ تعریفِ پیشینِ کرنلی و نویزِ هدف؛ کتابخانه اینجا اجرا نشده است
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.