همبستگیِ اسپیرمن رابطهٔ یکنوایِ دو متغیر را از راهِ رتبه‌ها خلاصه می‌کند. وقتی عددها مساوی‌اند، قاعدهٔ رتبه‌دادن مهم است؛ به‌کاربردنِ بی‌قیدِ فرمولِ کوتاهِ بدونِ تساوی می‌تواند جوابِ دیگری بسازد. در این تمرین، رتبهٔ میانگین و همبستگیِ Pearsonِ همان رتبه‌ها را واقعاً حساب می‌کنیم.
پنج زوجِ عددِ اصیل
x را [۱،۱،۲،۳،۳] و y را [۵،۴،۳،۲،۱] می‌گذاریم. هر جایگاه یک زوج است و دو فهرست باید همان ردیف‌ها را داشته باشند؛ مرتب‌کردنِ مستقل و فراموش‌کردنِ زوج‌ها رابطه را عوض می‌کند. این عددها رتبهٔ مشتری، نتیجهٔ مدل یا دادهٔ جست‌وجویِ سایت نیستند.
رتبه‌ها از یک شروع می‌شوند. دو مقدارِ یکِ x جایگاه‌هایِ یک و دو را می‌گیرند، پس به هرکدام میانگینِ ۱٫۵ می‌دهیم. مقدارِ دو رتبهٔ سه می‌گیرد و دو مقدارِ سه هرکدام رتبهٔ ۴٫۵ دارند. رتبه‌هایِ y همان پنج،چهار،سه،دو ویک‌اند. ترتیبِ رخ‌دادنِ دو مقدارِ مساوی را به تفاوتِ مصنوعی تبدیل نکرده‌ایم.
همبستگی را از خودِ رتبه‌ها بسازیم
میانگینِ هر بردارِ رتبه سه است. مجموعِ حاصل‌ضربِ انحراف‌ها منفیِ نه و مجموعِ مربعِ انحراف‌ها برایِ دو طرف نه و ده می‌شوند. بنابراین ضریب برابرِ −9/√90، یعنی حدودِ منفیِ ۰٫۹۴۸۶۸۳ است. کد رتبه‌ها، سه مجموع و تقسیمِ نهایی را از همان پنج زوج محاسبه می‌کند.
| حساب | نتیجهٔ همین اجرا |
|---|---|
| رتبه‌هایِ x | ۱٫۵،۱٫۵،۳،۴٫۵،۴٫۵ |
| رتبه‌هایِ y | ۵،۴،۳،۲،۱ |
| جمعِ ضربِ انحراف‌ها | منفیِ ۹ |
| ضریبِ رتبه | حدودِ منفیِ ۰٫۹۴۸۶۸۳ |
فرمولِ کوتاه را با تساوی تعمیم ندهیم
اگر بی‌توجه به تساوی‌ها از 1−6Σd²/[n(n²−1)] استفاده کنیم، با همین رتبه‌هایِ میانگین جوابِ منفیِ ۰٫۸۵ می‌شود. این با Pearsonِ رتبه‌هایِ میانگین برابر نیست. فرمولِ کوتاهِ آشنایِ بی‌تساوی را نباید بدونِ شرایط و اصلاحِ لازم جایِ تعریفِ موردِ استفاده گذاشت.
مرجعِ rankdata چند قاعده برایِ تساوی دارد؛ این فایل average را انتخاب کرده است. دادنِ رتبهٔ ترتیبیِ متفاوت به دو مقدارِ یکسان یا استفاده از رتبهٔ dense، قراردادِ دیگری است و لزوماً همان نتیجه را نمی‌دهد. در گزارش، روشِ تساوی و ردیف‌هایِ حذف‌شده را کنارِ ضریب بنویسید.
تغییرِ یکنوا و دو حالتِ مرزی
هر x را به توانِ سه می‌بریم؛ چون این تبدیل رویِ این دامنه سخت‌گیرانه صعودی است، ترتیب و تساوی‌ها حفظ و همان ضریب تولید می‌شود. اما اگر یک ستون همیشه یک باشد، پراکندگیِ رتبه‌اش صفر است و ضریب در قراردادِ ما None می‌شود. نبودِ تعریف را به صفرِ همبستگی تبدیل نمی‌کنیم.
در مثالِ دیگری، xهایِ منفیِ دو تا دو و y=x² را داریم. ضریبِ رتبه صفر می‌شود، درحالی‌که y کاملاً با x تعیین شده است. پس صفرِ این سنجه نبودِ هر نوعِ وابستگی را ثابت نمی‌کند؛ سنجه به شکلِ یکنوایِ رابطه توجه دارد. نبودِ همبستگیِ یکنوا با استقلالِ آماری یکی نیست.
ضریب با آزمون و علت فرق دارد
فایل فقط ضریبِ توصیفی را حساب کرده است؛ p-value، فاصلهٔ اطمینان یا آزمونِ استقلال ندارد. تعدادِ کم، زوج‌هایِ وابسته و انتخابِ نمونه بر استنباط اثر دارند. مستندِ اصلی هم تعریفِ ضریب و محدودیتِ استنباطِ p را جدا بیان می‌کند. SciPy در این تمرین اجرا نشده و دادهٔ واقعی تأیید نشده است.
رابطهٔ مشاهده‌شده با علت هم یکسان نیست. اگر دو مدل را با امتیازِ انسانی مقایسه می‌کنید، واحدِ زوج، تساویِ رتبه و مرجع را برایِ بررسیِ تحلیلِ مکالمه روشن کنید. این صفحه ادعایِ وجودِ سنجهٔ خاص در محصول ندارد؛ برایِ بازتولیدِ حسابِ همین زوج‌هاست.
فایل تمرین و منبع
رتبهٔ میانگینِ تساوی و همبستگیِ واقعیِ دو بردارِ رتبه · تساوی‌ها، فرمولِ نامناسبِ بی‌تساوی، ستونِ ثابت و وابستگیِ غیر‌یکنوا
- مرجعِ رسمیِ ضریبِ رابطهٔ یکنوا و ورودیِ ثابت؛ p-value و SciPy اجرا نشده‌اند
- مرجعِ رسمیِ رتبه‌هایِ مساوی؛ قراردادِ average و تفاوتش با dense/ordinal
منابع در 2026-11-04 خوانده شدند؛ این تاریخ، تاریخ انتشار منبع نیست. مثال‌ها و فایل‌های این راهنما آموزشی و ساختهٔ تحریریه‌اند.